皇室戰(zhàn)爭天梯匹配規(guī)則說明數(shù)據(jù)帝用公式表達，大多數(shù)玩家對天梯匹配規(guī)則非常感興趣，匹配規(guī)則是考慮到很多因素計算出來的對手，這不數(shù)據(jù)帝就為玩家們帶來了天梯匹配公式計算方法。寫在最前面的：皇室戰(zhàn)爭的天梯分數(shù)使用的是ELO算法，我會大致的介紹一下該算法的思想。Supercell的團隊會對原始ELO算法做一些調(diào)整(比如對W值重新定義與K值的調(diào)整)，但是根本思路是不會改變的。為了保證文章盡可能的通俗易懂，我會盡量減少推導(dǎo)與公式的部分。在理解了該算法的思路之后請各位自己思考一下匹配殺的可能性，我也就不再贅述了。

　　P.S.文章有復(fù)制的內(nèi)容，會在最后標(biāo)在參考文獻里。

皇室戰(zhàn)爭

　　長求總的話看紅字!

　　如果匹配殺占所有對戰(zhàn)的比例很高，那么ELO值將失去價值根本無法收斂，整個天梯系統(tǒng)將毫無意義。

　　如果匹配殺占所有對戰(zhàn)的比例很低，低到不影響ELO值的收斂，即不影響正常的游戲體驗，那么玩家?guī)缀跏遣豢赡堋案杏X”出“匹配殺”來的。

　　所以并沒有什么所謂的“匹配殺機制”存在，一切“匹配殺”皆心殺，一切制裁皆心裁。

　　ELO等級分的由來

　　ELO等級分體系是根據(jù)它的推廣者埃洛(elo)教授名字命名的，它是一種以數(shù)值表示的體系，將等級差別轉(zhuǎn)化為分數(shù)或取勝概率，反之亦然。當(dāng)今多數(shù)競技項目的等級分體系都是建立在ELO體系之上的，如國際象棋、圍棋、臺球等。

　　國際象棋等級分與稱號沒有必然的聯(lián)系，但等級分由于是根據(jù)比賽成績進行一定的科學(xué)計算得來的，隨著比賽次數(shù)越來越多，就越來越準(zhǔn)確地反映出一個人的真實水平。而稱號是通過參加一些比賽，根據(jù)規(guī)定按照獲得的名次而申報的一種頭銜。等級分的計算后來被國內(nèi)的圍棋及象棋引入，但影響力遠沒有國際象棋大。

　　在埃洛的等級分系統(tǒng)之前，世界上有許多類似系統(tǒng)，有些是數(shù)字式的，有些則采用其它的方式。比如：在二十世紀(jì)三十年代，美國通信國際象棋聯(lián)盟(The Correspondence Chess League of America)就有自己的等級分系統(tǒng);而在歐洲，INGO系統(tǒng)則非常流行;美國國際象棋協(xié)會(USCF)也有一套由肯尼斯.哈克尼斯(Kenneth.Harkness)發(fā)明的等級分系統(tǒng)。埃洛則提供了一套全新的系統(tǒng)。它具有一些直觀特性(如：1500分表示一名普通棋手，2000分表示一名俱樂部強手，2500分則代表一名國際特級大師級棋手)。同時，該系統(tǒng)又是依據(jù)統(tǒng)計學(xué)的基礎(chǔ)設(shè)計的，這對于系統(tǒng)的可行性非常重要。顯然，如果一套系統(tǒng)不能準(zhǔn)確反映棋手真正實力的話，那么它將毫無用處。

　　1960年，美國國際象棋協(xié)會(USCF)采納了埃洛教授的等級分系統(tǒng)。國際棋聯(lián)于1970年也采納了這套系統(tǒng)。

　　ELO等級分的原理

　　ELO等級分的計算則是從一個時間點開始有一個初始分，然后隨著每次比賽，根據(jù)比賽結(jié)果和對手的等級分，進行自己等級分的修正，進而在多次比賽后收斂得到接近選手真實水平的積分。即使粗略看比賽成績表，也能夠看出選手的表現(xiàn)是有起伏的，也就是有“狀態(tài)”之分。強手未必恒定表現(xiàn)好于弱手;每人之狀態(tài)在不同的日子不同的比賽里都會有好壞不同。而總的來說整個生涯里每一點上，一名選手的表現(xiàn)將大致圍繞在某個平均水平上下波動，有時會有背離，而出現(xiàn)大背離的情況比出現(xiàn)小背離的情況頻率要低。于是我們有了ELO體系的第一個假定，用標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)計術(shù)語表述就是：可以建立這么一個等級量表(rating scale)，某個體在這個表里的不同表現(xiàn)將正態(tài)分布。

　　第二個假定牽涉到了等級量表區(qū)間間隔的定義。簡單地說，在某一個特定的實力范疇里，盡管可能存在實力上的差異，但總的來說可以預(yù)期沒有誰比誰好或差很多。由此可以定量劃分區(qū)間。

　　等級量表

　　ELO體系使用一個叫“區(qū)間尺度”(interval scale)的定義，即等級差別是可能性方面的唯一重要因素。這是指對陣雙方誰有多大機會勝/負/和，唯一影響因素在于他們之間的等級差別，這樣排除了難以確定的“狀態(tài)好壞”(第一假定：個人的總體表現(xiàn)大致是正態(tài)分布的)，也排除了具體誰對誰的影響(第二假定：某一特定實力范疇里，相互之間的差別一般可預(yù)期不會出現(xiàn)太大意外)。

　　因此即使出現(xiàn)“爆冷"或“克星”，也視為偶發(fā)情況，因為ELO體系是建立在樣本足夠大量的統(tǒng)計基礎(chǔ)上的。而且個體的等級也是動態(tài)反映的。有一個概念叫“標(biāo)準(zhǔn)分類間隔”(class interval)，簡單說就是某一個等級里最高與最低之間的差別。在國際象棋里，F(xiàn)IDE(國際棋聯(lián))采用每200分為一個間隔的分類法，并且給每一個間隔取一個名字或排名以更好分辨。FIDE的等級分分隔表中，將1700分選擇作為普通水平業(yè)余棋手的實力值，將2000分選擇作為區(qū)分大師與業(yè)余者之間的分界線。而在皇室戰(zhàn)爭的最早版本中，2000杯則正是當(dāng)時最高等級競技場(皇家競技場)的杯數(shù)要求下限。

　　關(guān)于第二假定的另一個表述方法：在某一分段區(qū)間內(nèi)的選手，水平大致相同，勝出的期望也大致相同。

　　那么在樣本量足夠大的情況下，我們可以認為，出現(xiàn)異常情況(期望勝率大于50%時失敗)是可以被允許的。

　　正態(tài)分布函數(shù)

　　我們知道，強手未必總是勝過弱手，于是就使用一個“正態(tài)分布函數(shù)”(Normal Distribution Function)來代表一名選手的波動表現(xiàn)，這是統(tǒng)計學(xué)上的概念。

　　從這個函數(shù)里可以得出另一個函數(shù)叫“正態(tài)概率函數(shù)”(normal probability function)，這個就定義了根據(jù)比賽對抗結(jié)果可得出的等級差別，或者根據(jù)已知的等級差別可得出的預(yù)期比賽對抗結(jié)果。它是這樣的：

　　P(D)這個值，就是以等級分差別D為自變量計算出來的預(yù)期取勝可能性(預(yù)期得分率)，因為選手在比賽中的表現(xiàn)更接近于Logistic分布，它可近似用下面這個公式來計算：

　　于是我們可以把典型數(shù)值事先都計算出來編成一張表，到時要計算等級分變化時只需查表找出對應(yīng)數(shù)字就是。它叫“百分比預(yù)期值表”(Percentage Expectancy Table)，簡稱PE表，如下圖所示。

　　舉例：當(dāng)A的ELO分比B高100分時，查表可知A與B對戰(zhàn)時A的勝率為64%，B的勝率為36%。

　　當(dāng)前等級分公式

　　表現(xiàn)等級分公式，假如用在一個長時期里，就不能精確反映選手的實力了。更精確的方法是把各表現(xiàn)等級分綜合計算以盡可能正確反映選手的當(dāng)前實力。所形成的數(shù)字就叫選手等級分(player rating)或簡稱等級

　　分(rating)。(當(dāng)然也會有些偶然變數(shù)，但沒有表現(xiàn)等級分那么明顯。)

　　其中：Rn是賽事后的新等級分;Ro是賽事前的原等級分;K是單局得分的等級分點值，它是一個系數(shù)，取值有約定的;W是實際對局得分(勝得1、和得0.5);We是在原等級分基礎(chǔ)上的預(yù)期對局得分。

　　這個公式是用來在連續(xù)基礎(chǔ)上(也就是每局或每個賽事之后)計算新等級分的。它把最新的表現(xiàn)調(diào)整考慮進先前的等級分中。

　　它的邏輯意義是一個選手的表現(xiàn)高于他的預(yù)期得分以及低于他的預(yù)期失分。

　　因為在皇室戰(zhàn)爭中平局雙方獎杯數(shù)都為0，所以Supercell應(yīng)該把這部分的公式改得更加簡單了——W實際對局得分改成“勝得1、負、和得0”，而K的取值是一個可以自己定義的分段函數(shù)，這我們就不知道了。我自己計算的結(jié)果是在3000杯以上，K的值在17.5左右，僅供參考。

　　并且從公式中顯然可知在一次對戰(zhàn)后雙方的增加杯數(shù)與減少杯數(shù)并不一定相等。

　　魔獸世界：早期競技場的K值應(yīng)該在32(超過2200可能在16)，隊伍的積分即是匹配分，不太高的K值導(dǎo)致積分收斂性強，即積分2500+的積分已經(jīng)排到參與人數(shù)前1%。積分的最高值更加取決參與人數(shù)。新版本的競技場匹配分與實際積分已經(jīng)分離，這樣做主要是為了隊伍更好的定位(高分隊用更少的場次進入到自己的積分段，沖擊更高的分段)。

　　DOTA2：大體猜測采用的是均衡的K值，通過估分系統(tǒng)玩家的起始積分在(2500-4500)附近，每場比賽結(jié)束默認分差為25(贏了加25分，輸了扣25分)。比如每次匹配都是實力一致的選手，即勝率0.5，那么K=50(實際情況會復(fù)雜的多，多人組隊，跨積分段匹配，低分抱大腿之類)。按現(xiàn)在玩家數(shù)量7000分(2015年9月27日)可以排到前500，再過一年隨著玩家數(shù)量的增多，7000分可能只能排到前1000甚至2000。

　　ELO排名的特點與不足

　　ELO積分具有離散型，它一直伴隨著選手的，選手的每一場比賽過后，ELO積分根據(jù)比賽對手的ELO分和比賽的結(jié)果對選手的ELO分進行修正。所以新的ELO分的計算只跟三個因素有關(guān)：

　　選手賽前的ELO分

　　比賽對手ELO分

　　比賽結(jié)果

　　每個選手從最初進入評價系統(tǒng)中開始，都會有一個初始等級分，而這個初始等級分與這個選手的水平之間還沒有開始建立任何聯(lián)系，選手需要在評價系統(tǒng)中進行幾場甚至幾十場的比賽后，他對應(yīng)的等級分才能逐步趨近與其真實水平。

　　那么在選手對應(yīng)的等級分趨近于其真實水平之前的比賽中，等級分就不能夠反應(yīng)其實力了。

　　假如選手A和選手B的ELO分都是1700分，真實情況也還是有可能二者的競技實力還是相差較多。假設(shè)選手A只進行了較少的比賽就將ELO分提升到1700分，而選手B則是進行了很多場比賽，最終ELO分穩(wěn)定在1700分左右。那么這時，選手A的ELO分就是不穩(wěn)定的，還未收斂的，也就是說，選手A的ELO分還沒有通過足夠的比賽來反應(yīng)其真實的實力，還需要若干比賽的結(jié)果來穩(wěn)定ELO分。

　　這也不是說選手B的ELO分穩(wěn)定下來了，選手B的收斂過程就結(jié)束了。選手B可能通過研究卡組，提升技術(shù)， 氪金 ，提高了自己的水平，這時，他通過比賽自己的ELO分又會重新從穩(wěn)定進入收斂過程。所以說，收斂過程在等級分機制中是一直存在的。正是由于收斂過程的存在，會讓ELO分對選手真實水平的反應(yīng)，在一定范圍內(nèi)不是那么準(zhǔn)確。

　　ELO的群集遞減

　　從應(yīng)用等級分評價體系的比賽項目團體的角度來看，選手都是從初始等級分進入系統(tǒng)的，而AFK后則一般攜帶較高的等級分離開系統(tǒng)，所以，隨著等級分機制的運轉(zhuǎn)，群體中的總體等級分是由減少的趨勢的。

　　上圖為2007年1月到2010年1月國際象棋棋聯(lián)注冊棋手的等級分分布情況，左圖為真實數(shù)據(jù)連成的曲線圖，右側(cè)為擬合后的圖形?？梢钥吹綇?007年到2010年每年棋聯(lián)總體的等級分都是呈減少的趨勢的。

　　而在CR中因為用戶的持續(xù)增多所以會導(dǎo)致ELO分數(shù)和不斷暴漲，使得每個區(qū)間內(nèi)的分數(shù)差的判別能力貶值，所以SC引入了賽季重置的機制，保證游戲中ELO的分數(shù)和不會因為用戶暴增而膨脹過多，使得在每一個賽季中依靠ELO分的判斷選手能力的標(biāo)準(zhǔn)不會有大的變動。

　　如果在將來CR的新加入用戶數(shù)量所增加的ELO分數(shù)無法維持住當(dāng)前的ELO總和時，Supercell只需要調(diào)整上述公式中的K值即可對CR的ELO系統(tǒng)做出動態(tài)平衡。

　　PS.根據(jù)某坊間更新泄露，有可能會在4000杯以上增加一個杯數(shù)收益減半的奧林匹斯競技場(真?zhèn)挝粗?，如果這是真的，Supercell只需要將處于該競技場的玩家的K值減為傳說競技場的一半即可(加分減半扣分照常的話則需要繼續(xù)討論)。

　　最簡單的自動匹配算法與皇室戰(zhàn)爭匹配機制猜想

　　由ELO算法的設(shè)計思路可知，ELO系統(tǒng)的核心理念是將等級差別轉(zhuǎn)化為分數(shù)或取勝概率，反之亦然，如果在匹配中進行所謂“克制卡牌”的“匹配殺”，這就與ELO算法的基本思路相違背，無法形成一個ELO天梯環(huán)境。

　　為了讓天梯環(huán)境中的選手們自動的盡快進行比賽，我們需要有一套自動的匹配算法，讓空閑沒有進行比賽的選兩兩結(jié)對進行比賽。

　　在天梯環(huán)境中，我們采用的方法是在匹配隊列中取出第一個節(jié)點，找到與之分數(shù)最接近的一個節(jié)點，然后將兩個節(jié)點取出進行比賽。一直這樣操作，直到匹配隊列為空。一旦匹配隊列為空，或者只剩一個節(jié)點，那么一輪比賽就結(jié)束了。我們可以讓這樣的循環(huán)不停的繼續(xù)下去，那么就模擬出了一套使用ELO等級分進行評價的天梯環(huán)境了，流程圖如下。

　　這是一個最簡單的天梯自動匹配算法，而SC的實際算法比這個還要稍微復(fù)雜一點，以下為我做出的SC匹配算法機制的猜想。

　　由SC之前出的關(guān)于維護高杯段天梯環(huán)境的公告與鐘老板的實測視頻，我們可以知道SC的天梯匹配對上述算法加了一個最短重復(fù)匹配間隔來遏制送分，即：在A與B對戰(zhàn)后至少要與另外3個人進行對戰(zhàn)才有可能重新匹配到B。

　　根據(jù)經(jīng)驗，為了提高ELO分數(shù)的收斂速度，真實水平高于其ELO分數(shù)的玩家更有可能連勝，而連勝的玩家更有可能遇到ELO分數(shù)比他高更多的對手以加速其ELO分數(shù)向其真實水平分數(shù)(向上)收斂。而根據(jù)百分比預(yù)期值表，該玩家的勝率則在不斷降低，更有可能失敗。當(dāng)連敗時，有可能其ELO分數(shù)已經(jīng)高于真實水平的ELO分數(shù)，所以該玩家更有可能遇到分數(shù)比他低的對手加速(向下)收斂，機制與連勝時同理。

　　(不過因為連敗時的心態(tài)影響會導(dǎo)致水平波動，參見“正態(tài)分布函數(shù)”段，所以這就可以解釋——雖然連敗時玩家勝率根據(jù)百分比預(yù)期值表在不斷增加，但是因為實際ELO水平因為水平波動而下降所以導(dǎo)致真實勝率并不如預(yù)期表上的高從而導(dǎo)致連敗噴幾百分，當(dāng)頭腦冷靜后再一路打回這幾百分——這種現(xiàn)象了。)

　　(本來還想寫一點ELO的收斂速度計算，不過因為與標(biāo)題關(guān)系不大所以想了想還是不寫了。)

　　假如“匹配殺”真的存在，那么環(huán)境會變成什么樣呢?

　　我在這里以假設(shè)“只要對面有一張克制我關(guān)鍵卡的卡組匹配就是匹配殺”來做個計算。(當(dāng)然也可以假設(shè)兩張、三張來做計算。)

　　1.如果為了讓玩家情緒波動更大(從而氪金)而加入可以“匹配殺”的話那需要的“匹配殺”場占所有對戰(zhàn)的比例將會非常之大，所得的ELO值將會嚴(yán)重偏離真實水平，不要說收斂了，這所得的ELO值將根本就連解釋都無法解釋。

　　而且這樣一來每個玩家的對戰(zhàn)中受到的匹配殺與所有對戰(zhàn)的占比將會有很大的方差。有一部分玩家會處于卡組長期被克制的天梯環(huán)境里，而另一部分玩家則不會——這不是一個對所有玩家公平的天梯機制。

　　2.舉個例子，如果我用巨人電磁炮卡組，那么我認為所有有克制我關(guān)鍵卡(巨人、電磁炮)的卡的卡組就是匹配殺，即只要對面沒有小閃電、火箭、地獄塔、大閃電、冰凍卡組才的對手是正常的對手。

　　那么我如果去打天梯，不會遭遇到“匹配殺”的概率會是多少呢?

　　根據(jù)NGA上2000分段的統(tǒng)計數(shù)據(jù)計算，概率是34%——只要你對戰(zhàn)，有66%的概率會遇到匹配殺。

　　根據(jù)Reddit上天梯前100的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，概率是25%——即只要你對戰(zhàn)，有75%的概率會遇到匹配殺——而且天梯前100中地獄塔和火箭的攜帶率是0%。

　　如果是標(biāo)準(zhǔn)礦工卡組呢?關(guān)鍵卡大蒼蠅、礦工，克制卡牌是箭雨、火球、毒藥、刀綠皮、小骷髏(也可以抓礦工的小皮卡、女武神我都沒有算)。

　　根據(jù)2000分段的統(tǒng)計數(shù)據(jù)計算，遭遇匹配殺的概率是80%。

　　另一個我已經(jīng)不想算了。

　　礦工套天梯遭遇“匹配殺”的概率比其敗率都要高，這“匹配殺”已經(jīng)名不副實了。

　　如果一名選手的實際ELO分數(shù)與天梯ELO分數(shù)相同(即天梯分數(shù)就是其真實水平)，并且ELO天梯存在所謂“匹配殺”機制，那么無論是對這名選手進行“匹配殺”還是由這名選手對對手進行“匹配殺”都會影響其勝率，進而放大其ELO分數(shù)的誤差區(qū)間，使得該ELO機制變得無法準(zhǔn)確判斷選手的真實實力——這都與ELO算法的設(shè)計初始意圖相違背。

　　[參考文獻]

　　[1] 關(guān)于ELO算法的競技項目算法體系研究.

　　[2] MOBA游戲平衡性探討.

　　[3] The Rating of Chess Players, Past and Present (1978), Arco.

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　　作者：我愛花卷花卷愛我！